선형대수 6강 : 영벡터 공간과 해집합

이어서 선형대수 6강을 리뷰해보려고 한다. 

 

포스팅 시작~!

 

강의 링크: https://www.youtube.com/watch?v=dq48fy5Qub8&list=PLSN_PltQeOyjDGSghAf92VhdMBeaLZWR3&index=6

 

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교수님께서는 이전 강의의 내용을 다시 알려주신다. 

 

matrix $A$가 있을때, A의 column vector들이 linear combination으로 만드는 영역을 span이라고 한다. 

 

이때 만약 nxn의 정사각 행렬 $A$의 column vector들이 모두 독립이라면 A의 column vector는

n차원의 space로 span하게 된다. 

 

이렇게 된다면 최대 n차원의 vector인 b를 표현할 수 있다는 의미가 되고 또한 하나의 해로 표현할 수 있다는 의미가 된다.

-> 모든 column vector가 독립이기 때문에 해의 다른 형태가 존재할 수 없다는 것임!

 

따라서 A의 span이 whole space라면 $A$는 invertible하다!

 

이후에 교수님의 NULL Space에 대해서 소개해주신다. 

 

NULL Space란 $N(A)$ =  {x \in R^n | $Ax = 0$}을 만족하는 x의 모든 vector들의 집합이다. 

 

Null Space도 마찬가지로 Space이므로 Addition, Multiplication에 대해 닫힌 공간이어야 한다. 

 

그리고 교수님께서는 Null space를 찾는 예시로 Gauss 소거법을 하는 경우를 보여주신다. 

 

이때 정답이 unique한 값이 아니라 변수간의 관계식이 나오는데, 이 식의 의미는 

N(A) = span([-1, -1, 1]) 이다. 

 

 

위의 예시에서는 가우스 소거법으로 만들어낸 관계식이 Null space를 구성하는 vector라는 것을 알 수 있다. 

-> Addition, Multiplication이 닫힌 공간안에서 모두 성립하는 것을 알 수 있다. 

 

이후 교수님은 식의 계수보다 변수의 개수가 많은 경우에 대해 소개해주신다. 

 

 

푸는 방법은 다음과 같다. 

 

1. 가우스 소거법을 시행한다. 

 

2. matrix의 diagonal성분만을 pivot으로 따질 수도 있고, 만약 대각선의 성분이 0이된다면 그 다음 열의 성분을

사용해도 된다. 

 

3. 이후 pivot으로 정한 열의 성분들을 모두 0으로 만들어준다. 

 

4. pivot 값을 모두 1로 만들어준다. 이를 Row Reduced Form이라고 한다. 

 

 

5. matrix에 대해 수식을 정리하여 관계식을 만든다. 

-> 이때 (pivot에 해당하는 변수 = pivot 해당 x 성분)의 형태로 수식을 정리해준다.

참고로 pivot은 pivot variable, 나머지 성분은 free variable이라고 부른다. 

즉, pivot variable을 free variable의 식으로 변경해주는 것

 

6. 이렇게 만들어진 벡터 x를 free variable의 합 관계식으로 정리해준다. 

-> free variable으로 span하는 공간이 만들어짐 (이것이 Null space이다. )

 

그리고 Null  space의 basis가 되는 vector들을 special solution이라고 한다. 

 

교수님은 이후에 예시를 들어가며 설명해주신다. 

 

어떤 4차원의 vector x에 대해서 Null Space가 2차원이라면 나머지는 Row Space에 존재한다고 한다. 

-> Row Space는 2차원인 것!

 

 

이상 오늘의 포스팅 끝~!