선형대수 5강: 벡터공간과 열벡터공간

오늘은 선형대수 5강에 대해 리뷰해보려고 한다. 

 

포스팅 시작!

 

 

강의 링크:

 

https://www.youtube.com/watch?v=2C-NqCo5L9k&list=PLSN_PltQeOyjDGSghAf92VhdMBeaLZWR3&index=5

 

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강의노트

 

교수님께서는 먼저 Chapter 1에 대해서 리뷰를 해주신다. 

 

이전 강의에서 보여줬던 예시를 통해 우리가 지금까지 구했던 선형 연립방정식은 변수의 개수와 방정식의 개수가

같은 경우라는 것을 보여준다. 

 

여기서 Gauss 소거법을 쓰면 x를 구할 수 있고 b가 0이 아닌 $Ax = b$ 에서 $A^{-1}$이 존재한다면 $x$는 unique하다는 것을 다시 설명해주신다. 

 

그리고 solution이 없는 경우도 있다고 말씀해주신다. 

 

이번 Chapter2에서는 연립방정식의 수가 변수의 개수보다 적은 경우를 살펴볼 것이라고 말씀하셨다. 

 

이런 경우 해는 무수히 많은 vector로 나올 수 있고 이 vector들이 직선을 이룰 수 있다는 것을 알려주셨다. 

 

그리고 이런 vector들의 집합을 vector space라고 부른다고 한다. 

 

vector space의 정의는 다음과 같다. 

 

Vector Space: 덧셈과 스칼라의 곱셈에 대해서 닫힌 집합

(여기서 닫힌이라는 의미는 두 벡터의 덧셈, 스칼라의 곱의 계산 결과가 항상 같은 집합안에 속한다는 뜻이다.)

 

교수님은 그 후 vector space의 성질에 대해 정리해주신다. 

 

나는 vector space가 원점을 반드시 포함해야한다는 점이 살짝 이해가 안되서 찾아봤다. 

 

두 가지의 이유를 찾았다. 

 

• 벡터공간의 성질에서 $x + 0 = x$ 라는 것이 있는데 zero vector가 공간에 포함되지 않기 때문에 더할 수 없게 된다. 
• 6번 성질에서 C는 모든 실수인데 0을 곱할 경우 원점을 지나지 않기 때문에 vector공간에서 벗어나게 된다. 

 

이후 교수님의 예시를 들며 vector space가 어떻게 정의되는지 보여주신다. 

 

테일러 시리즈를 예시로 들며 $e^x$이 무한한 다항식의 합으로 표현되고 이 계수들이 무한 차원의 vector를 이룬다고 한다

 

이 vector들이 이루는 공간을 Hilbert space라고 한다. 

 

(Hibert space: 다항함수들을 무한 차원의 벡터공간의 basis로 사용하는 집합)

 

이후 subspace도 원점을 반드시 포함해야 한다고 설명하신다. 

 

원점을 포함하지 않으면 벡터의 합이 해당 vector space를 벗어난다고 말씀해주신다. 

 

$Ax = b$ 예시에 대해서 

 

$A$를 column vector들의 집합으로 볼 수 있고 이를 $a_1x1 + ... + a_nx_n$으로 나타낼 수 있다고 한다. 

이때 vector b가 A가 만들어내는 Colum space에 속하면 정답이 있고 속하지 않으면 정답이 없다는 관점으로 

수식을 볼 수 있다.

 

 

이후에 예시를 보여주시며 강의를 마무리하셨다.

 

 

이상 포스팅 끝!