선형대수 3강 : LU분할

오늘은 이상화 교수님의 선형대수 3강을 리뷰해보려고 한다. 

 

강의 링크: 

https://www.youtube.com/watch?v=QZk0L7MPDxs&list=PLSN_PltQeOyjDGSghAf92VhdMBeaLZWR3&index=4

 

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강의 노트

 

우선 교수님께서는 2강에서 소개한 가우스 소거법을 행렬의 곱으로 어떻게 표현할 수 있는지 알려주신다. 

 

이때 각 행렬에 대해 곱해주는 값을 $l$이라고 정의한다. 

 

$-l_{2, 1}$ : 2열의 계수에서 1열의 계수 x $l_{2, 1}$  의 값을 뺴준다.

 

이 과정을 가우스 소거법의 순서에 따라 반복하는 과정을 행렬로 표현하는데, $l_{2, 1}$의 연산을 하는 matrix를 

$E_{2, 1}$이라고 한다. 

 

위의 예제에서는 총 3번의 소거법을 진행하여 matrix를 Upper triangular형태로 만든다. 

 

 

그리고 이렇게 만들어진 $E_{3, 2} E_{3, 1} E_{2, 1} U$ 값에 대해서 ( U: Upper traingular matrix)

 

$ E_{3, 2} E_{3, 1} E_{2, 1} $ 값만 계산해준다.

 

그러면 이렇게 만들어진 matrix는 Lower triangular matrix 형태가 된다.  (이를 L이라고 표현하자)

 

그렇다면 행렬 A는 다음과 같이 표시할 수 있다. 

 

$A = LU$

 

 

이를 LU factorization ( decomposition ) 이라고 한다. 

 

이걸 왜 쓸까..? determinant 계산을 할때 편해서 이 방식을 많이 쓴다고 한다. 

 

그리고 matrix $L$에 연립의 정보가 모두 담겨있다는 것을 확인할 수 있다. 

 

 

이후에 교수님은 예시를 들어가며 LU 분할에 대해 설명해주셨다. 

 

참고로 초기 matrix A가 Lower triangular matrix라면 U는 identity가 되고 L = A가 된다는 것을 알 수 있다. 

 

그리고 분해된 LU matrix에 대해서 대각행렬을 추가하여 분해할수도 있다. 

 

$LU = LDU$

 

대각행렬을 추가하는 이유는 제곱연산을 할때 계산하기 편해서라고 한다. 

 

그리고 LU matrix에서 L or U의 대각 성분이 모두 1이라면 L, U matrix는 unique하다고 한다. 

 

 

우리는 2강에서 가우스 소거법을 배웠을때, pivoting에 대해서도 배웠다. 

 

(Upper triangular 형태가 되지 않을때 행벡터의 순서를 바꾸는 방법)

 

교수님께서는 pivoting을 하는 과정도 matrix의 곱 관점으로 볼 수 있도록 설명해주셨다. 

 

이렇게 위치를 바꾸는 matrix를 permutation matrix라고 한다. 

 

그리고 이 matrix는 교환법칙이 성립하지 않는다고 한다. 

 

또한 $P^{-1} = P^T$가 성립한다고 한다. 

 

(pivoting이 안된다면 답이 없거나 무한한 경우임)

 

이상 오늘의 포스팅을 마치겠다.