선형대수2강: 1차 연립방정식과 가우스소거법

오늘은 이상화교수님의 선형대수 2강을 리뷰해보려고 한다. 

 

강의 링크: 

https://www.youtube.com/watch?v=i3VTeQW0Tw4&list=PLSN_PltQeOyjDGSghAf92VhdMBeaLZWR3&index=2

 

강의노트

 

 

먼저 교수님은 좀 특별한 해가 나오는 경우인 singular case에 대해서 설명하셨다.

 

1. No Solution (해가 없음)

2. Infinite Solution (해가 무수히 많음)

 

여기서 singular case를 row 관점으로 보느냐, column 관점으로 보느냐에 따라 어떻게 해석되는지 달라진다고 한다.

 

Row form ( intersection을 구하는 것)

1. Parallel (평행) -> intersection이 없음 (해가 없음)

2. Overlap (겹침) -> intersection이 무수히 많음 (해가 무한함) 

 

Column form  ( 두 vector의 조합으로 = 뒤에 있는 vector를 만드는 것)

1. Parallel (평행) -> 목표 vector를 만들 수 없음

2. 3 벡터와 목표지점이 한 평면 위에 있을 때 -> 다른 두 벡터로 나머지 하나의 벡터를 만들 수 있음

( 조합이 무한함: 해가 무수히 많아짐)

 

그리고 Gauss Elimination(가우스 소거법)에 대해 알려주신다. 

 

우선 대각선에 존재하는 식의 계수를 pivot이라고 하는데, 이 pivot들을 모두 non-zero하게 맞춰주어야 한다.

만약 모두 non-zero하게 맞춰졌다면 소거법으로 계산을 시행한다. (변수 3개, 식3개 가정)

 

두 번째 식의 첫번쨰 계수부터 제거하고 이후 세 번째 식의 두번째 계수를 제거한다. 

 

대각선 계수가 모두 non-zero이고 대각선 아래의 계수가 모두 0이라면 이를 upper triangular matrix라고 한다.

 

만약 upper trangular matrix가 만들어졌다면, 이 수식의 답은 유일하다.

 

 

 

수식을 계산하는 도중에 pivot이 0이 된다면 수식의 순서를 바꾸는 방법을 취해주어야 한다. 

이를 Breakdown이라고 한다. 

 

변수 3개, 식 3개의 상황에서 

u + v + w = a

0    0  3w = b-2a

0    0  4w = c-4a

 

의 수식이 있다고 가정해보자.

 

이때 만약 $w = \frac{b-2a}{3}$ != $\frac{c-4a}{4}$ 라면 3개의 평면이 만나지 않는다는 소리가 된다. 

 

오늘의 포스팅은 여기까지~!