선형대수 8강: 벡터공간의 차원과 4가지 부벡터공간

강의 링크: https://www.youtube.com/watch?v=5-agpUpRZJU&list=PLSN_PltQeOyjDGSghAf92VhdMBeaLZWR3&index=8

 

 

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강의노트

 

교수님께서는 이전 강의의 내용인 Linear independent에 대해 먼저 알려주셨다. 

 

Linear independent의 정의는 Linear combination으로 0 벡터를 만들 수 없는 벡터의 관계를 말한다. 

 

다음으로는 Span을 설명해주신다. 

 

Span은 vector의 set이라고 말할 수 있다. 

 

Linear combination을 하여 만들 수 있는 모든 집합을 말한다. 

-> 모든 집합이 만드는 영역으로도 해석 가능함. 

 

span할 vector는 unique하지 않다. 

-> 4개의 vector가 있어도 3개의 vector로 하나를 만들 수 있다면 3개의 벡터로 만든 영역과 4개의 벡터로 만든 

    영역이 같아지기 때문이다.

 

span이 다르기 위해서는 추가되는 하나의 vector가 나머지 3개의 vector와 independent한 관계를 가질 경우이다.

 

다음으로는 basis에 대해서 설명해주신다. 

 

basis는 vector space로 span하는 vector의 최소 개수를 의미한다. 

이는 maximum of independent vector를 의미하기도 한다. 

 

왜냐 span을 구성하는 vector의 최소 개수가 independent vector로 구성되어 있기 때문이다. 

 

하지만 basis도 unique하지는 않다. 

 

independent한 관계를 가진 vector는 여러개이기 때문이다. 

 

 

이상적인 basis는 서로 수직한 관계를 가진 basis라고 한다. 

 

왜냐하면, $b = c_1v_1 + ... +  c_nv_n$의 식에서 $v_k$의 계수인 $c_k$를 구하고 싶을 경우 양 변에 $v_k$를 곱하면 

$v_k$를 제외한 나머지가 모두 0이 되기 때문이다. ( 수직한 vector의 내적은 0임)

 

basis를 matrix A로 나타낸다면 우리는 A를 우리가 설계할 system이라고 볼 수 있다. 

 

어떻게 설계하냐 (basis를 어떻게 선택하냐)에 따라 결과를 더 쉽게 구할 수 있는 것이다. 

 

다음으로는 vector space의 dimension에 대해서 설명해주신다. 

dimension을 다음과 같이 정의할 수 있다고 한다. 

 

= independent vector들의 개수

= Rank(A)

= independent column vector의 개수

= independent row vector의 개수

= G.E를 했을 때, pivot의 개수 

 

 

다음으로는 fundemental subspace에 대해서 소개해주신다. 

 

1. Column space: column vector들이 Linear combination으로 span한 공간 

2. Null space: Ax = 0을 만족시키는 x vector가 span하는 공간

3. Row space: row vector들이 Linear combination으로 span한 공간

4. Left Null space: $A^Tx = 0$을 만족시키는 x vector가 span하는 공간 

 

이때 column space와 null space가 서로 수직한 관계이고 두 차원을 합치면  matrix A가 존재하는 최대

차원이 나온다고 한다. 

row space와 left null space도 마찬가지이다.

 

 

A의 independent vector개수를 구하고 싶다면, G.E를 통해 row reduced form으로 만들어준 뒤에 pivot의 개수를

세면 된다. 

 

다음으로는 inverse에 대해서 설명해주신다. 

 

square matrix의 inverse가 존재할 경우 오른쪽, 왼쪽 상관없이 inverse가 원본에 곱해진다면 identity matrix가 나온다. 

 

하지만 직사각형일 경우, right inverse나 left inverse 형태로 존재한다. 

 

이때 right inverse를 left로 곱할 경우 원래 나와야 할 identity matrix를 초과하는 성분들은 모두 0이 된다고 한다. 

반대로 마찬가지다.