다익스트라 예제 - 최단경로

최단경로 

 

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1 초

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문제

방향그래프가 주어지면 주어진 시작점에서 다른 모든 정점으로의 최단 경로를 구하는 프로그램을 작성하시오. 단, 모든 간선의 가중치는 10 이하의 자연수이다.

입력

첫째 줄에 정점의 개수 V와 간선의 개수 E가 주어진다. (1 ≤ V ≤ 20,000, 1 ≤ E ≤ 300,000) 모든 정점에는 1부터 V까지 번호가 매겨져 있다고 가정한다. 둘째 줄에는 시작 정점의 번호 K(1 ≤ K ≤ V)가 주어진다. 셋째 줄부터 E개의 줄에 걸쳐 각 간선을 나타내는 세 개의 정수 (u, v, w)가 순서대로 주어진다. 이는 u에서 v로 가는 가중치 w인 간선이 존재한다는 뜻이다. u와 v는 서로 다르며 w는 10 이하의 자연수이다. 서로 다른 두 정점 사이에 여러 개의 간선이 존재할 수도 있음에 유의한다.

출력

첫째 줄부터 V개의 줄에 걸쳐, i번째 줄에 i번 정점으로의 최단 경로의 경로값을 출력한다. 시작점 자신은 0으로 출력하고, 경로가 존재하지 않는 경우에는 INF를 출력하면 된다.

예제 입력 1 복사

5 6
1
5 1 1
1 2 2
1 3 3
2 3 4
2 4 5
3 4 6

예제 출력 1 복사

0
2
3
7
INF

 

이 문제는 다익스트라의 기초 예제 문제이다. 

 

start 노드에서 다른 노드까지의 최소 거리를 구하는 문제이다. 

 

문제를 푸는 순서는 다음과 같다. 

 

1. 간선의 최솟값을 dp 리스트에 모두 INF값으로 초기화 한다. 

2. 시작 지점을 (0, 도착노드) 형태로 heap에 저장하고 dp[시작노드] = 0으로 초기화 한다. 

3. 이후 while heap 안에서 heappop을 진행하여 삭제된 노드와 연결된 노드들을 모두 조사한다. 

조사방식은 다음과 같음

삭제한 노드까지의 거리 + 삭제한 노드와 연결된 노드까지의 거리  < dp[삭제한 노드와 연결된 노드] 라면

 

dp[ 삭제한 노드와 연결된 노드] = 삭제한 노드까지의 거리 + 삭제한 노드와 연결된 노드까지의 거리

 

로 바꿔주고 heap에 (dp[삭제한 노드와 연결된 노드], 삭제한 노드와 연결된 노드)를 추가해준다. 

 

이 과정을 while문 안에서 반복하면 우리가 원하는 최단경로가 나오게 된다. 

 

모든 간선이 한번씩 검사된다는 점에서 첫 번째 작업이 O(E), 각 간선마다 우선순위 큐에 자료가 삽입 연산이 일어난다는 점에서 O(ElogE)이며, 이 둘을 합쳤을 때, (E+ElogE)의 시간복잡도는 O(ElogE)가 된다.

 

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구현코드

import heapq

INF = 1e10
V, E = map(int, input().split())
K = int(input())

graph = [[] for _ in range(V+1)]
heap = []
dp = [INF] * (V+1)

for _ in range(E):
    u, v, w = map(int, input().split())
    graph[u].append((w, v))

def djikstra(start):
    dp[start] = 0
    heapq.heappush(heap, (0, start))

    while heap:
        wei, des = heapq.heappop(heap)

        if wei > dp[des]:
            continue

        for w, next_node in graph[des]:
            if w + dp[des] < dp[next_node]:
                dp[next_node] = w + dp[des]
                heapq.heappush(heap, (w+dp[des], next_node))

djikstra(K)

for i in range(1, V+1):
    print("INF" if dp[i] == INF else dp[i])